Nulla a che fare con una rara malattia, ma con una condizione emotiva in cui ciascuno di noi si è trovato almeno una volta nella vita. Chi era Evariste Galois prima di tutto? Molto brevemente, era un adolescente francese che la notte prima di un duello, per il quale era sicuro che sarebbe morto (e così è stato…), riuscì in quella sola notte a determinare un metodo generale per scoprire se un’equazione è risolvibile o meno con operazioni come la somma, la sottrazione e bla bla bla, risolvendo così un problema della matematica vecchio di millenni.
Si potrebbe indicare anche ogni stato di febbrile operosità creativa che si determina quando si è consapevoli di poter iniziare una nuova era, una svolta epocale, una grande trasformazione individuale e sociale. Dopo i momenti di crisi il nostro cervello e il nostro cuore sono capaci di fare cose inaudite e inaspettate.
Lanciare il cuore oltre il confine sapendo che non cadrà a terra, ma ci sarà qualcuno ad afferrarlo.
La Sindrome di Galois
marzo 10, 2009
Frenk from the Blog 
Commenti su: "La Sindrome di Galois" (10)
L’ULTIMO TEOREMA DI FERMAT IL TEOREMA DI GALOIS E ILTEOREMA MIRABILIS DI GALLO
Le matematiche pongono spesso sullo stesso piano (in questo caso quello algebrico) teorie rivoluzionarie. Nel caso specifico (algebrico): la Teoria di E.Galois e la TTIE (Teoria delle Trasformazioni delle Identità in Equazioni, 1989)di O. Gallo. E’ però anche vero che, in generale, in matematica sembra che valga il seguente principio paradossale: più grandi e innovative sono le teorie rivoluzionarie, più esse sono incomprensibili ai soliti “Cauchy e Poisson” di turno e osteggiate dai loro contemporanei. Ma è altrettanto vero che mai nessuno di costoro è passato alla storia per aver favorito il progresso: delle matematiche; cosa che capitò, oltre che al genio incompreso di Galois, persino allo stesso K.F. Gauss, solo in seguito definito ipocritamente princeps matheamaticorun. Infatti non fu per puro caso se Gauss decise di ritardare la diffusione delle sue scoperte in matematica e di pubblicare “pauca, sed matura” in risposta al rifiuto opposto da parte dell’Académie Royale de Paris all’ accettazione della sua opera più nota in Teoria dei Numeri, le “Disquisitiones Arithemeticae” , pubblicata a sue spese più tardi (1801)…La matematica è una strana scienza che spesso, oltre a non dare a Cesare quel che è di Cesare , spesso, quasi per un perverso capriccio della sorte, accade che quasi perfidamente il caso (per ritardare il progresso umano?) ponga,come si è verificato in vari momenti della Storia delle Mateamtiche, nelle mani sbagliate armi affilatissime di distruzione istantanea di cultura perenne. I “nuovi Cauchy” e i ” nuovi Poisson” dei nostri tempi ( paradossalmente in nome di un diffuso e diabolico Principio di Conservazione dell’Ignoranza o Principio di Conservazione delle Cattedre Universitarie?) attendono al varco il sorgere di ogni idea innovativa e creativa in campo matematico.
Anche se le armi che brandiscono i nuovi censori dei nostri tempi dislocati nei più impensabili centri di ricerca ( sic!) , ma anche sul web, dove spesso vige un libera dittatura democratica ( di gran voga agli inizi del Terzo Millennio anche in vari paesi democratici del globo terracqueo), da un momento all’altro. inesorabilmente il tempo finisce per incenerire totalmente destinando i loro possessori e le loro effimere censure all’oblio perenne.
Nessuna grande teoria rivoluzionaria in campo matematico sembra abbia mai fatto eccezione in tal senso, soprattutto se opera di un non accademico, quali furono Archimede, Fermat, Abel, Galois …..e qual è lo stesso Onofrio Gallo, autore di un teorema universale (il Teorema Mirabilis di Gallo) che intender non lo può/ chi non lo prova., il quale contiene sia l’Ultimo Teorema di Fermat ( caso diofanteo) sia il Teorema di Galois sui gruppi risolubili (caso algebrico) e che per molti accademici costituisce un gigantesco rospo che è difficile mandar giù d’un solo colpo! Historia non docet?
Aggiornatevi! That’s All Folks!
Piergiorgio Malaguti
Grazie Piergiorgio per l’illuminante digressione matematica. Lo apprezzo molto anche se ci ho capito poco, non essendo io un matematico, nè un filosofo, nè tantomeno ho velleità in tal senso… come questo blog del resto. Aggiornarmi su quanto hai scritto mi servirà ben poco e le Disquisitiones Arithemeticae le lascio per forum ad-hoc.
Grazie ancora per il tuo contributo!
G
Al grande cuore di Frank! Uno storico omaggio: la “ricostruzione” ad opera del matematico Onofrio Gallo delle due lettere di Stéphanie-Felicie Poterin du Motel.
A proposito degli ultimi eventi e dello stato psicofisico in cui era venuto a trovarsi Galois, Onofrio Gallo scrive :
“In realtà, tenuto conto della grave depressione psicofisica in cui Galois si trovava, non sarebbe stato necessario alcun intervento speciale da parte della polizia politica del tempo; in quanto Galois oramai aveva preso irrevocabilmente la decisione di suicidarsi. Ma poteva Galois, uno dei più pericolosi, se non il più pericoloso dei repubblicani in circolazione, disporre in proprio della semilibertà concessa? Per tale motivo di fondo e, ufficialmente, in qualità di “prigioniero sulla parola”, il 16 marzo 1832, egli fu trasferito in una clinica del tempo ubicata in rue de l’Oursine, il cui proprietario era un certo Faultrier de l’Oursine e nella quale svolgeva la sua attività il padre di Stephanie. Ma gli eventi finali della sua vita lo portarono forse a dare uno “scopo” al suo suicidio”.
Qui , aggiungiamo noi, secondo tale tesi, la relazione di Evariste con Stéphanie-Felicie, figlia dello stimato medico parigino Jean-Louis Poterin du Motel, il nome della quale traspariva (ad arte?)tra alcune righe non del tutto cancellate di uno degli ultimi manoscritti di Galois: quasi che lo stesso Galois volesse intenzionalmente far “trasparire” il nome di quella “ coquette de bas étage”, ossia di quella “civetta di basso rango “ per convincere i posteri e corroborare la tesi del duello per motivi d’amore,subito dopo fatti passare per motivi patriottici.
Alla serie di domande:
1. Per quale motivo Galois, che non si era mai fidanzato, in quanto il suo “amore” era la matematica, avrebbe dovuto fidanzarsi, in un momento di profonda depressione e sul punto di suicidarsi?
2. Quale fu l’esatta circostanza in cui conobbe Stépanie?
3. Quale fu il tipo di relazione che venne a stabilirsi tra i due? (Due lettere , incomplete, che riportiamo più avanti, completate nelle parti mancanti da Onofrio Gallo, indicherebbero che la relazione tra Évariste a Stéphanie si concluse con un deciso e inappellabile rifiuto da parte di lei.)
4. Era vero che la stessa Stéphanie era la di d’Herbinville?
5. Era vero che d’Herbinville fosse un provocatore realista e non un compagno repubblicano di Galois?
6. La ragazza poteva essere un adoperato dai nemici di Galois per costringerlo al duello?
7. Se il duello era vero, come spiegare la ferita mortale riportata da Galois e causata da un colpo ?
8. Esistono tutti gli elementi per dare una risposta definitiva alle domande precedenti?
Ed ecco le due lettere, gli originali sono a grafia di Galois, da lui firmate “Madamoiselle Stéphanie D.”.
La loro ricostruzione nelle parti mancanti, in MAIUSCOLO, da parte di Onofrio Gallo è stato un vero e proprio miracolo di analisi testuale!
“Finiamola con questa faccenda vi prego.
Non ho abbastanza animo per seguire una corrispondenza del genere CON VOI , ma cercherò di averne abbastanza per conversare con voi come facevo prima che non fosse successo niente. Ecco le POESIE CHE AVETE SCRITTO PER ME. IL MIO CUORE NON NE HA PIU’ BISOGNO ORA CHE A QUANTO SEMBRA DEVE PREMERE PENSARE PIU’ A VOI STESSO che a me. VI PREGO PERCIO’ DI NON TENERE CONTO DI me e non pensare a cose PARTORITE DALLA VOSTRA FANTASIA CHE non potrebbero esistere e che, PER QUANTO MI RIGUARDA, non esisteranno mai.”
II
“Ho seguito il vostro consiglio e ho riflettuto A LUNGO,
su tutto quello che è accaduto tra di noi. QUANTO E’
successo – sotto qualunque PUNTO DI VISTA O
denominazione questo possa essere DEFINITO, NON ERA NE’ POSSIBILE, NE’ CONVENIENTEstabilirsi fra noi. Del resto Signore siate PIU’ CHE
persuaso che non sarebbe probabilmente
mai stato di più; supponete DIVERSAMENTE ?ALLORA SUPPONETE male e i vostri rammarichi sono infondati.
La vera amicizia esiste solo
tra persone dello stesso sesso
soprattutto QUANDO SI HANNO INTERESSI IN COMUNE. E’ GRAZIE AGLI amici CHE CI SI commisera nel BENE E SOPRATTUTTTO NEL MALE, SOPRATTUTTO QUANDO SUBENTRA IL
vuoto DELL’ESISTENZA CHE GENERA l’assenza di CONSIDERAZIONE IN SE STESSI E DI ogni sentimento di questo genere. PER TALE MOTIVO vi ho concesso, Signore, la mia fiducia CIECA, ma essa è stata molto ferita PER QUANTO voi mi avete PROPOSTO.
PIU’ VOLTE MI AVETE visto triste E MI AVTE chiesto QUALE NE FOSSE il motivo; vi ho risposto che IO NON SONO DEL VOSTRO PARERE SULL’AMICIZIA E CHE PERCIO’ avevo dei dispiaceri; che mi se ne avevano fatti GIA’ ALTRE VOLTE provare. Ho pensato che lo avreste preso AD INSEGNAMENTO .come ogni persona CHE SI TROVI davanti AD UNA GRANDE DIFFICOLTA’ a cui si lasci cadere una parola D’INCORAGGIAMENTO. C’ERANO STATI DEI MALENTESI INIZIALI E PROPRIO per questi non si Era stabilito un buon rapporto di amicizia tra di noi.
La tranquillità delle mie idee mi lascia la libertà di giudicare senza molta riflessione le persone che vedo di solito; è ciò che fa sì che io abbia raramente il rammarico di essermi sbagliata o lasciata influenzare nei loro riguardi.
Io non sono del vostro parere SULL’AMICIZIA E SUi senTIMENTI CHE PER ME CONTANO più degli STESSI AMICI. PER IL VOSTRO BENE E IL MIO VI INVITO a NON esigere PIU’ ALCUN CHIARIMENTO IN MERITO. PER QUANTO MI RIGUARDA SONO SICURA CHE NON ne seNTIRO’ PIU’ ALCUNA NECESSITA’. ADDIO E VI RINGRAZIO.
Sinceramente >
Mademoiselle Stéphanie D.”
Quanto sopra è contenuto nel Codex Cervinarensis del matematico Onofrio Gallo ( n. 1946 a Cervinara, in Valle Caudina).
Da parte nostra osserviamo quanto segue. E’ chiaro che, sulla base di quanto sappiamo sulla vita di Galois, non ci sono elementi certi per rispondere esattamente a ciascuna delle domande precedenti e ad altre ancora che si potrebbero aggiungere ad esse, ma non vi sono dubbi che i motivi fondamentali che condussero Galois al duello-suicidio, furono di fatto fondamentalmente due:
1. il contraccolpo psicologico da lui subito in seguito al suicidio del padre Nicholas-Gabriel, caduto nella “ragnatela persecutoria” creata ad arte intorno a lui dai suoi avversari politici, tra i quali figurava indubbiamente anche il parroco gesuita ;
2. il mancato riconoscimento delle sue eccezionali capacità e doti in campo matematico e la conseguente esclusione dal mondo dei matematici e dalle istituzioni ufficiali che lo rappresentavano, cause attribuite da Galois ad un’ estensione alla sua persona di quella stessa ragnatela persecutoria dalla quale era stato avviluppato mortalmente il padre e che, prima o poi, avrebbe avviluppato mortalmente anche lui attivamente impegnato per la causa dei repubblicani.
Ed ecco la conclusione di Onofrio Gallo:
“Una ragnatela persecutoria che lui volle però lacerare con un gesto eroico, donando, coscientemente e razionalmente, il suo corpo per la causa repubblicana attraverso il suo gesto-suicida, e affidando per sempre la sua anima alla matematica, unico suo amore e l’unica religione in cui egli credeva, per far rivivere in una dimensione eterna, fuori dal tempo e dallo spazio, il suo genio incompreso dagli uomini.”
A cura di U. Esposito
Al grande cuore di Frank! Uno storico omaggio: la “ricostruzione” ad opera del matematico Onofrio Gallo delle due lettere di Stéphanie-Felicie Poterin du Motel.
A proposito degli ultimi eventi e dello stato psicofisico in cui era venuto a trovarsi Galois, Onofrio Gallo scrive :
“In realtà, tenuto conto della grave depressione psicofisica in cui Galois si trovava, non sarebbe stato necessario alcun intervento speciale da parte della polizia politica del tempo; in quanto Galois oramai aveva preso irrevocabilmente la decisione di suicidarsi. Ma poteva Galois, uno dei più pericolosi, se non il più pericoloso dei repubblicani in circolazione, disporre in proprio della semilibertà concessa? Per tale motivo di fondo e, ufficialmente, in qualità di “prigioniero sulla parola”, il 16 marzo 1832, egli fu trasferito in una clinica del tempo ubicata in rue de l’Oursine, il cui proprietario era un certo Faultrier de l’Oursine e nella quale svolgeva la sua attività il padre di Stephanie. Ma gli eventi finali della sua vita lo portarono forse a dare uno “scopo” al suo suicidio”.
Qui , aggiungiamo noi, secondo tale tesi, la relazione di Evariste con Stéphanie-Felicie, figlia dello stimato medico parigino Jean-Louis Poterin du Motel, il nome della quale traspariva (ad arte?)tra alcune righe non del tutto cancellate di uno degli ultimi manoscritti di Galois: quasi che lo stesso Galois volesse intenzionalmente far “trasparire” il nome di quella “ coquette de bas étage”, ossia di quella “civetta di basso rango “ per convincere i posteri e corroborare la tesi del duello per motivi d’amore,subito dopo fatti passare per motivi patriottici.
Alla serie di domande:
1. Per quale motivo Galois, che non si era mai fidanzato, in quanto il suo “amore” era la matematica, avrebbe dovuto fidanzarsi, in un momento di profonda depressione e sul punto di suicidarsi?
2. Quale fu l’esatta circostanza in cui conobbe Stépanie?
3. Quale fu il tipo di relazione che venne a stabilirsi tra i due? (Due lettere , incomplete, che riportiamo più avanti, completate nelle parti mancanti da Onofrio Gallo, indicherebbero che la relazione tra Évariste a Stéphanie si concluse con un deciso e inappellabile rifiuto da parte di lei.)
4. Era vero che la stessa Stéphanie era la di d’Herbinville?
5. Era vero che d’Herbinville fosse un provocatore realista e non un compagno repubblicano di Galois?
6. La ragazza poteva essere un adoperato dai nemici di Galois per costringerlo al duello?
7. Se il duello era vero, come spiegare la ferita mortale riportata da Galois e causata da un colpo ?
8. Esistono tutti gli elementi per dare una risposta definitiva alle domande precedenti?
Ed ecco le due lettere, gli originali sono a grafia di Galois, da lui firmate “Madamoiselle Stéphanie D.”.
La loro ricostruzione nelle parti mancanti, in MAIUSCOLO, da parte di Onofrio Gallo è stato un vero e proprio miracolo di analisi testuale!
“Finiamola con questa faccenda vi prego.
Non ho abbastanza animo per seguire una corrispondenza del genere CON VOI , ma cercherò di averne abbastanza per conversare con voi come facevo prima che non fosse successo niente. Ecco le POESIE CHE AVETE SCRITTO PER ME. IL MIO CUORE NON NE HA PIU’ BISOGNO ORA CHE A QUANTO SEMBRA DEVE PREMERE PENSARE PIU’ A VOI STESSO che a me. VI PREGO PERCIO’ DI NON TENERE CONTO DI me e non pensare a cose PARTORITE DALLA VOSTRA FANTASIA CHE non potrebbero esistere e che, PER QUANTO MI RIGUARDA, non esisteranno mai.”
II
“Ho seguito il vostro consiglio e ho riflettuto A LUNGO,
su tutto quello che è accaduto tra di noi. QUANTO E’
successo – sotto qualunque PUNTO DI VISTA O
denominazione questo possa essere DEFINITO, NON ERA NE’ POSSIBILE, NE’ CONVENIENTEstabilirsi fra noi. Del resto Signore siate PIU’ CHE
persuaso che non sarebbe probabilmente
mai stato di più; supponete DIVERSAMENTE ?ALLORA SUPPONETE male e i vostri rammarichi sono infondati.
La vera amicizia esiste solo
tra persone dello stesso sesso
soprattutto QUANDO SI HANNO INTERESSI IN COMUNE. E’ GRAZIE AGLI amici CHE CI SI commisera nel BENE E SOPRATTUTTTO NEL MALE, SOPRATTUTTO QUANDO SUBENTRA IL
vuoto DELL’ESISTENZA CHE GENERA l’assenza di CONSIDERAZIONE IN SE STESSI E DI ogni sentimento di questo genere. PER TALE MOTIVO vi ho concesso, Signore, la mia fiducia CIECA, ma essa è stata molto ferita PER QUANTO voi mi avete PROPOSTO.
PIU’ VOLTE MI AVETE visto triste E MI AVTE chiesto QUALE NE FOSSE il motivo; vi ho risposto che IO NON SONO DEL VOSTRO PARERE SULL’AMICIZIA E CHE PERCIO’ avevo dei dispiaceri; che mi se ne avevano fatti GIA’ ALTRE VOLTE provare. Ho pensato che lo avreste preso AD INSEGNAMENTO .come ogni persona CHE SI TROVI davanti AD UNA GRANDE DIFFICOLTA’ a cui si lasci cadere una parola D’INCORAGGIAMENTO. C’ERANO STATI DEI MALENTESI INIZIALI E PROPRIO per questi non si Era stabilito un buon rapporto di amicizia tra di noi.
La tranquillità delle mie idee mi lascia la libertà di giudicare senza molta riflessione le persone che vedo di solito; è ciò che fa sì che io abbia raramente il rammarico di essermi sbagliata o lasciata influenzare nei loro riguardi.
Io non sono del vostro parere SULL’AMICIZIA E SUi senTIMENTI CHE PER ME CONTANO più degli STESSI AMICI. PER IL VOSTRO BENE E IL MIO VI INVITO a NON esigere PIU’ ALCUN CHIARIMENTO IN MERITO. PER QUANTO MI RIGUARDA SONO SICURA CHE NON ne seNTIRO’ PIU’ ALCUNA NECESSITA’. ADDIO E VI RINGRAZIO.
Sinceramente >
Mademoiselle Stéphanie D.”
Quanto sopra è contenuto nel Codex Cervinarensis del matematico Onofrio Gallo ( n. 1946 a Cervinara, in Valle Caudina).
Da parte nostra osserviamo quanto segue. E’ chiaro che, sulla base di quanto sappiamo sulla vita di Galois, non ci sono elementi certi per rispondere esattamente a ciascuna delle domande precedenti e ad altre ancora che si potrebbero aggiungere ad esse, ma non vi sono dubbi che i motivi fondamentali che condussero Galois al duello-suicidio, furono di fatto fondamentalmente due:
1. il contraccolpo psicologico da lui subito in seguito al suicidio del padre Nicholas-Gabriel, caduto nella “ragnatela persecutoria” creata ad arte intorno a lui dai suoi avversari politici, tra i quali figurava indubbiamente anche il parroco gesuita ;
2. il mancato riconoscimento delle sue eccezionali capacità e doti in campo matematico e la conseguente esclusione dal mondo dei matematici e dalle istituzioni ufficiali che lo rappresentavano, cause attribuite da Galois ad un’ estensione alla sua persona di quella stessa ragnatela persecutoria dalla quale era stato avviluppato mortalmente il padre e che, prima o poi, avrebbe avviluppato mortalmente anche lui attivamente impegnato per la causa dei repubblicani.
Ed ecco la conclusione di Onofrio Gallo:
“Una ragnatela persecutoria che lui volle però lacerare con un gesto eroico, donando, coscientemente e razionalmente, il suo corpo per la causa repubblicana attraverso il suo gesto-suicida, e affidando per sempre la sua anima alla matematica, unico suo amore e l’unica religione in cui egli credeva, per far rivivere in una dimensione eterna, fuori dal tempo e dallo spazio, il suo genio incompreso dagli uomini.”
A cura di U. Esposito
RISOLUZIONE DELLE FORME QUADRATICHE BINARIE – METODO DI GALLO
Senza i moltiplicatori arbitrari di Lagrange e senza l’uso delle congruenze di Gauss- con il seguente , che qui appare per la prima volta. Sia assegnata la forma quadratica binaria (F) ax^2+2bxy+cy^2=n (a, b,c, interi ed n intero positivo ). Se scriviamo la (F) nella forma 1(ax^2) -1(-2bxy-cy^2)=n , possiamo porre X= ax^2 ed Y=-2bxy-cy^2 ed applicare alla (F’) X-Y=n la prima delle quatttro formule di Gallo o (FG.1) per ottenere la soluzione generale di Gallo della (F’), data da: X= ((n+1)+t)/2 Y=((1-n)+t)/2 con t= X+Y-1 parametro intero di Gallo e della stessa parità dei co-addendi di Gallo ( cioè n+1 ed 1-n) in X ed in Y, in quanto il denominatore di X e di Y è sempre un numero pari. L’espressione della componente X della soluzione generale di Gallo si può in funzione di x^2 e di t, per cui si ha: x^2 = ((n+1)+t)/2a La positività di x^2 implica che sia t> -(n+1), che rappresenta il limite inferiore di t, mentre è anche possibile stabilire a priori se t>n oppure se t 0 e se nella segnatura al primo membro della forma quadratica binaria sono presenti due permanenze di segni o due variazioni di segni, allora tn. “ E’ chiaro che se a<0 i risultati del Teorema FBQ di Gallo s’invertono. Esempio Risolviamo l’equazione di Lagrange (1) 3x^2 +5xy+7y^2 =41 con il . Scritta la (1) nella forma (1’) X – Y = 41 con X= 3x^2 ed Y=-5xy-7y^2 , otteniamo la soluzione generale di Gallo della (F’), data da: X= ((n+1)+t)/2= (42+t)/2 Y=((1-n)+t)/2 = (-40+t)/2 con t= X+Y-1 parametro intero di Gallo e della stessa parità dei co-addendi di Gallo ( cioè n+1=42 ed 1-n=-40) in X ed in Y, in quanto il denominatore di X e di Y è sempre un numero pari. L’espressione della componente X della soluzione generale di Gallo si può in funzione di x^2 e di t, per cui si ha: x^2 = (42+t)/6 La positività di x^2 implica che sia t> -(n+1)=-42, che rappresenta il limite inferiore di t, mentre dal Teorema FBQ di Gallo, essendo a=3>0 e figurando due permanenze al primo membro della (1), dev’essere t <41. Dunque i valori interi pari di t devono essere tali che -42<t<41. Infatti per t=-36 troviamo la soluzione intera positiva x=1 e quindi y=2.
Il II° METODO DI GALLO si fonda sul Teorema di Gallo per la risoluzione delle forme quadratiche binarie che qui non riportiamo per brevità.
( Condensato dal CODEX CERVINARENSIS di Onofrio Gallo, per gentile concessione dell’Autore). A cura di U. Esposito
MI PIACEREBBE AVERE QUALCHE NOTIZIA IN PIù DEL MATEMATICO ONOFRIO GALLO.
CHIEDO AL SIGNOR ESPOSITO UMBERTO DI METTERSI IN COMUNICAZIONE CON ME
GRAZIE ANTICIPATAMENTE
DAL TEOREMA DI GALOIS AL TEOREMA MIRABILS DI GALLO
Teorema di Ruffini -Abel , occorre precisare che esso non impedisce di risolvere per radicali certe equazioni o classi di equazioni algebriche di grado maggiore di 4, come, ad esempio, equazioni del tipo n-quadratiche ax 2n+ bx n+c=0 oppure xn – c =0 e simili.
Ma quali sono le equazioni algebriche di grado n>4 che risultano risolubili per radicali?
Fu Évariste Galois a dare la risposta definitiva a tale quesito, non ancora ventenne, col suo ormai celebre Teorema. di Galois, la chiave, invano ricercata dai matematici europei per circa tre secoli, a partire dal 1545 (Ars Magna di Cardano), che confermava il Teorema di Abel sull’irresolubiltà per radicali dell’equazione generale di grado superiore al quarto e nel contempo stabiliva in modo inequivocabile le condizioni necessarie e sufficienti per la risolubilità per radicali di qualsiasi equazione algebrica di grado n finito.
Évariste Galois fondò la sua teoria e i suoi teoremi su idee rivoluzionarie per la sua epoca, alla cui base si trova il concetto di gruppo, approfondito in quegli stessi anni anche da Cauchy, lo stesso che smarrì la memoria di Abel sulle funzioni trascendenti e uno dei tre destinatari della celebre memoria di Galois : Sulla risolubilità delle equazioni algebriche per radicali.
Gli altri due furono Jean-Baptiste Fourier (1769-1830), che la smarrì prima di morire subito dopo, e Siméon Denis Poisson (1781-1840)che non la comprese e la rinviò a Galois perche la rendesse più comprensibile..
La commissione esaminatrice del Grand Prix des Matématiques al quale Galois partecipava era composta anche da Lacroix, Legendre e Poinsot.
Tale commissione avrebbe dovuto esaminare anche i lavori di concorrenti del calibro di Jacobi, Poncelet, Sturm, Lamé, Liouville, Dirichlet, e di altri matematici meno in vista; tra questi lo stesso Libri.
Da parte sua K.F. Gauss aveva patito la stessa identica umiliazione quando il suo trattato-capolavoro sulla teoria dei numeri, le Disquisitiones Arithmeticae , fu rifiutato dall’Accademia delle Scienze di Parigi, in quanto giudicato “oscuro e complesso”. Gauss, che pubblicò a sue spese le Disquisitiones, se la prese a tal punto che decise di tenere per sé molti dei suoi lavori successivi e di non pubblicare mai nulla se non fosse stato più che certo che non gli sarebbe stato opposto alcun rifiuto da parte di chiunque. La conseguenza?
Se le cose fossero andate diversamente il progresso delle Matematiche non sarebbe stato forse più veloce?
Per comprendere il significato del Teorema di Galois sui Gruppi Risolubili occorre tener conto del fatto che un’equazione algebrica E(x)=0 di grado n finito positivo è risolubile per radicali o algebricamente, se, come per le equazioni di primo, secondo, terzo e quarto grado, è possibile trovarne le soluzioni mediante le cosiddette “formule risolutive” ( per radicali , se n>1) nelle quali
appaiono un numero finito di operazioni razionali (le quattro operazioni elementari) e di estrazione di radici, eseguite sui coefficienti dell’equazione.
Il celebre Teorema di Galois sui Gruppi Risolubili relativo alla risolubilità per radicali delle equazioni algebriche di grado n finito può essere rappresentato nello schema seguente:
Grado dell’equazione algebrica E(x)=0
G 2 3 4 n>4
FC 2 2,3 2,3,2,2 2, n!/2
E(x)=0 è risolubile
per radicali? Si Sì Sì NO
Dove G è il gruppo di Galois o gruppo di simmetria di ordine n dell’equazione algebrica di grado n, e dove FC indicano i fattori di composizione ( rapporti tra gli ordini )dei gruppi simmetrici ( o normali) massimali contenuti in G: il Teorema di Galois – in sostanza- afferma che se, e solo se, tali FC sono tutti numeri primi la (E) è risolubile per radicali.
Per n>4 i fattori di composizione (FC )sono 2 ( primo) e n!/2 (NON primo), per cui per n>4 l’equazione algebrica (E) non è in generale risolubile per radicali.
Si osservi che posto Kn=n!/2, per n=5 K5=4×15; per n=6 K6=4×90; per n=7 K7=4×630; per n=8 K8= 4×5040; per n=9 K9= 4×45160,… per cui risulta che Kn non è primo, ma è “pari e multiplo di 4”.
Esiste dunque una corrispondenza tra le equazioni algebriche e il loro cosiddetto gruppo di Galois.
Il gruppo di Galois, che indichiamo per semplicità col simbolo G. Il gruppo G di Galois codifica in modo originale le simmetrie presenti eventualmente in un’equazione algebrica “risolubile” di grado n finito (casi n=2,3,4 in cui esistono delle “formule risolutive per radicali”), ma anche nei casi in cui l’equazione non è, in generale, risolubile per radicali, come accade per valori di n>4 ( Teorema di Ruffini-Abel).
Il Teorema Mirabilis di Gallo per le equazioni diofantee del tipo ax^r + by ^s= cz^t di grado n>0 intero finito (nelle quali, per a=b=c e per r=s=t=n è compresa anche la (F) x^n + y^ n = z^n ), codifica in modo originale le eventuali simmetrie presenti nell’quazione diofantea (F) e, a seconda dei valori di n, informa e consente il calcolo delle soluzioni intere mediante la funzione generale di simmetria di Gallo di grado n.
Le funzioni di simmetria particolari o relative che da essa si ottengono per n=1 ed n=2 sono, in un certo senso, le corrispondenti formule risolutive delle equazioni (DG) ( e quindi anche di (F) ) non più per radicali come nelle equazioni algebriche( casi n=2,3,4), bensì per soluzioni intere .
In particolare, per n>2, l’equazione (F) non è risolubile per soluzioni intere , per l’assenza di simmetrie, il che corrisponde alla mancanza di coppie di interi (h,k) tali che risulti verificata la condizione di simmetria di Gallo F(h) = – F(k) che appare nel Teorema Mirabilis di Gallo come condizione sufficiente ed al fatto che l’indicatore di risolubilità per soluzioni intere di Gallo non è un numero primo (condizione necessaria), ma un multiplo di 4.
E dunque il concetto d’ “indicatore di risolubilità per soluzioni intere di Gallo” è l’analogo degli “indici di Galois” per i sottogruppi normali massimali (che formano le serie di composizione relative alle equazioni algebriche) del gruppo G di Galois. Sia l’indicatore di risolubilità per soluzioni intere di Gallo che gli indici di risolubilità di Galois devono essere numeri primi, affinché le corrispondenti equazioni siano “risolubili”.
In virtù del Teorema Mirablis di Gallo e delle sue generalizzazioni si perviene facilmente, come già sottolineato, a interpretare la simmetria come condizione essenziale per l’esistenza di soluzioni di equazioni , sia diofantee (del tipo considerate) sia algebriche di grado n finito e, quindi, dei problemi da esse rappresentati, al punto che il suo autore è stato spinto a formulare (2004) la cosiddetta Congettura di Gallo, relativa all’esistenza di un Superteorema, in base al quale, alla risolubilità ed al calcolo delle soluzioni di qualsiasi tipo di equazione, si potrebbe pervenire mediante la super-generalizzazione del suo Teorema Mirabilis, ponendo in tal modo le premesse generali per istituire in modo definitivo un’unica grande Teoria Universale delle Equazioni, di qualsiasi tipo e grado (finito) esse siano.” News tratte dal Codex Cervinarensis di Onofrio Gallo (n.1946 a Cervinara, Valle Caudina) a cura di Umberto Esposito per gentile concessione dell’Autore.
IL PROBLEMA DI CACCIOPPOLI
Il seguente problema inedito, relativo a “permutazioni casuali “, fu risolto da Caccioppoli nell’ambito della Teoria dei Gruppi di Galois ( ma né la sua soluzione particolare, né il metodo generale utilizzato da Caccioppoli sono mai stati trovati). Nel 1976, appresa l’esistenza di tale problema tramite un suo amico, già allievo di Caccioppoli, esso fu completamente risolto nel giugno 1977 ( sia a livello particolare sia a livello generale) dal matematico italiano Onofrio Gallo (n, 1946 a Cervinara, Valle Caudina) che ne riporta integralmente il metodo risolutivo generale nel suo Codex Cervinarensis (Sezione Problemi impossibili). Ecco il testo del problema:
“ Assegnati quattro insiemi finiti non vuoti A,B,C,D, ciascuno di ordine 4, formati, rispettivamente, dagli elementi (tutti distinti tra loro e nell’ordine) ai, bi, ci,di con i=1,2,3,4; e, considerato l’insieme casuale finito, E1 = (a1,c1, d1, b1, b2,c2, a2, c3, d2, a3, c4 , a4, d3, b3, b4, d4), di ordine 16, formato dagli elementi di A,B,C, D in che modo è possibile, senza eseguire calcoli di alcun tipo, ottenere la “soluzione fissa di Caccioppoli” S= (a,a,a,a, b,b,b,b,c,c,c,c, d,d,d,d)=(A,B,C,D) dove il simbolo (x,x,x,x) indica una qualsiasi permutazione degli elementi, rispettivamente, di A,B,C,D; e, inoltre, trovata la S, determinare poi un metodo generale tale che, a partire dal generico Ek (per ogni k variabile da 1 a n, con n massimo numero delle permutazioni ottenibili da E1) conduca alla S“? Chi è in grado di risolverlo?
Secondo ‘O Genio”, come veniva chiamato il Prof. Caccioppoli, la probabilità che fosse trovata una soluzione da parte di qualche matematico nei successivi cinquant’anni (a partire dal 1930 circa, anno in cui il problema venne verosimilmente formulato) era inferiore ad un miliardesimo. Tale probabilità , però, saliva ad una su un trilione nel caso qualcuno avesse voluto determinarne il relativo “metodo generale”.
News a cura di Umberto Esposito per gentile concessione dell’Autore.
ONOFRIO GALLO (Aggiornamento SCHEDA bio-bibliografica al 31 dic. 2010)
Premesso che il sottoscritto non è abilitato a fornire notizie sulla vita di Onofrio Gallo, per eventuali contatti si prega di lasciare sempre il proprio indirizzo E-mail (o, se si preferisce, una richiesta o una risposta in reply su questo sito) precisando se trattasi di contatto di tipo A (delucidazioni su teorie, teoremi e formule di Gallo); di tipo B (offerte di consulenza e/o collaborazione: precisare il campo di applicazione); di tipo C (contatti per eventuali proposte di pubblicazione di opere di Onofrio Gallo), di tipo D (contatti di altro tipo: in tal caso precisare almeno il campo dell’oggetto da discutere e/o da trattare Esempio : Desidero un contatto di tipo D: oggetto xxxxx).
Pertanto si prega gentilmente gli interessati di riformulare la richiesta di contatto indicando il tipo di contatto desiderato e l’oggetto.
Riportiamo in questa sede un’integrazione della breve nota bio-bibliografica che appare in caudium.myblog.it/…/cervinara-cittadini-illustri.html
Un’integrazione che, per coloro che intendono saperne di più e per gli studiosi, costituisce un utile aggiornamento relativo agli altri risultati ottenuti dal matematico cervinarese e che figurano nel suo monumentale Codex Cervinarensis:
●Teorema Sigma di Gallo :risolve, per la prima volta in assoluto, senza l’uso delle congruenze e delle frazioni continue, “localmente”, per le equazioni diofantee a due incognite lineari, il cosiddetto X Problema di Hilbert: stabilire quante soluzioni ammette la ax+by=c senza risolverla); ●Teorema FBQ di Gallo sulle forme binarie quadratiche ( senza l’uso delle congruenze e delle frazioni continue) un argomento affrontato da Gauss nella quinta parte delle sue Disquisitiones Arithmeticae (Lipsia, 1801, stampato a proprie spese); mentre nella penultima parte della sua opera affronta la risoluzione in interi delle equazioni diofantee quadratiche del tipo (1) mx^2+ny^2=A con m,n,A interi qualsiasi non nulli, facilmente risolubili mediante una delle quattro formule generali di Gallo; ad esempio con la prima di esse si ottiene x^2= ((A+n +nt)/ (m+n) ed y^2= (A-m-mt)/(m+n) con t( parametro di Gallo)= x^2 –y^2-1. La formula di Gallo per l’equazione che si ottiene dalla (1) per m=3 , n=2 ed A=1205 , pert t=119 , fornisce le soluzioni x=+ o – 17 ed y=+ o – 13.
●Teorema di Gallo sull’unicità della soluzione intera positiva di un’equazione diofantea del tipo ax+by=c e per quelle ad essa riconducibili ( risolve tale problema per la prima volta in assoluto)
● Teorema FPG di Gallo .consente per la prima volta in assoluto nella Storia delle Matematiche il calcolo ben approssimato a meno di 1/10^r ,con r in genere maggiore di 8, della radice k-ma di un nunero naturale positivo e di risolvere con la stessa approssimazione, mediante le “frazioni razionali di Gallo”, le equazioni k-diofantee ( ossia equazioni del tipo di Fermat-Pell di grado k>2)
● Teorema Z-Mirabilis di Gallo (stabilisce la condizione sufficiente affinchè un’equazione complessa (1) G(z)=0 nella variabile complessa z=x+iy (x,y reali non nulli) ammetta soluzioni complesse; il che, se è nota una soluzione s della (1) e la sua coniugata s’, consente di determinare il valore r della parte reale di z, cioè Re(z)=x=r. Tale teorema per s ed s’=1-s zeri di Riemann della funzione zeta di Riemann consente di ottenere il Teorema RH-Mirabilis di Gallo (ex-Ipotesi di Riemann).
● Teorema RH-Mirabilis di Gallo ( ex- Ipotesi di Riemann, del 10 marzo 2005, ma diffuso sul WEB a partire dal 14 Aprile 2010 ), che costituisce la prima dimostrazione in assoluto, in appena sette righe!, dopo circa 151 anni dall’enunciazione di G.B. Riemann (1826-1866), della celebre Iptesi di Riemann: “ Ogni zero complesso non banale z =x+yi della funzione zeta di Riemann ha parte reale x=Re(z)=1/2”. I teoremi Z- ed RH-Mirabilis di Gallo sono contenuti nella memoria The Proof of the Riemann’s Hypothesis, di sei pagine, depositata il 30 Aprile 2010 presso l’Accademia Norvegese delle Scienze e delle Lettere di Oslo. Il Teorema RH-Mirabilis di Gallo è stato anche inviato (21 dicembre 2010) alla Singapore Mathematical Society Association of Mathematics di Singapore
● Teorema Caratteristico di Gallo relativo ad una nuova formulazione dell’Ipotesi di Riemann e dimostrato sempre in base al suo Teorema RH-Mirabilis.
● Teorema di Gallo sulla risolubilità per radicali delle equazioni algebriche (l’equivalente del Teorema di Ruffini-Abel) che in modo sintetico dimostra l’inesistenza delle formule risoltive per radicali delle equazioni algebriche generali di grado n>4.
● Due dimostrazioni “elementari” dell’Ultimo Teorema di Fermat, la prima delle quali alla portata dello stesso Fermat, mai trovata tra le sue carte.
Altri problemi matematici risolti da Onofrio Gallo:
● Il Problema dell’armadio (di Caccioppoli?) : calcolo dei tre lati di un triangolo non ottuso, essendo nota solo l’altezza relativa all’ipotenusa.
● Metodo generale per la risoluzione del cosiddetto Problema di Caccioppoli:
“ Assegnati quattro insiemi finiti non vuoti A,B,C,D, ciascuno di ordine 4, formati, rispettivamente, dagli elementi (tutti distinti tra loro e nell’ordine) ai, bi, ci,di con i=1,2,3,4; e, considerato l’insieme casuale finito, E1 = (a1,c1, d1, b1, b2,c2, a2, c3, d2, a3, c4 , a4, d3, b3, b4, d4), di ordine 16, formato dagli elementi di A,B,C, D in che modo è possibile, senza eseguire calcoli di alcun tipo, ottenere la “soluzione fissa di Caccioppoli” S= (a,a,a,a, b,b,b,b,c,c,c,c, d,d,d,d)=(A,B,C,D) dove il simbolo (x,x,x,x) indica una qualsiasi permutazione degli elementi, rispettivamente, di A,B,C,D; e, inoltre, trovata la S, determinare poi un metodo generale tale che, a partire dal generico Ek (per ogni k variabile da 1 a n, con n massimo numero delle permutazioni ottenibili da E1) conduca alla S? “
● Terne pitagoriche triangolari di Gallo (1995)
L’unica terna non banale di tale tipo, riportata da Sierpinski nel 1961, era la terna (A1, B1, C1) = (8778, 10296, 13530) ed essa fu trovata per la prima volta dal suo connazionale polacco Kazimierz Zarankiewicz (2 maggio 1902-5 settembre 1959). Fino al 1995 non si conoscevano altre terne di tale tipo. Nel suo Codex Cervinarensis il matematico riporta varie decine di tali terne calcolate sulla base dei suoi teoremi; di esse recentemente sul WEB ne sono state pubblicate sei.
● Formule di Gallo per la risoluzione delle equazioni diofantee in tre incognite del tipo (D3) ax+ by+cz =d ( a, b, c, d, x,y,z interi non nulli)
Gli studiosi possono trovare sul WEB quasi tutti gli argomenti qui segnalati e le relative soluzioni ( tranne in qualche caso).
News e aggiornamento a cura di Umberto Esposito per gentile concessione dell’Autore.
IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ALGEBRA-TEOREMA MIRABILIS TFA DI GALLO
La più breve dimostrazione in assoluto nella Storia della Matematica del Teorema Fondamentale dell’Algebra (TFA) è senza alcun dubbio quella ottenuta (10 maggio 2002) dal matematico italiano Onofrio Gallo (n. 1946 a Cervinara, Valle Caudina). Essa si fonda sul Teorema Z-Mirabilis di Gallo : lo stesso teorema che ha consentito di dimostrare al suo autore l’Ipotesi di Riemann in solo sette righe (Teorema RH-Mirabilis di Gallo, 2005 e 2010). Il matematico cervinarese è riuscito a dimostrare il Teorema Fondamentale dell’Algebra in solo dieci righe (Teorema Mirabilis TFA di Gallo)! La sua dimostrazione è ineccepibile : si fonda su concetti di doppia simmetria da cui essenzialmente dipende l’esistenza di una radice complessa di un polinomio F(z) a coefficienti reali o complessi di grado n finito intero positivo nella variabile z reale o complessa. Si tratta di un risultato eccezionale per eleganza e concisione matematica, degno dei più grandi geni matematici, tenuto conto che lo stesso K.F. Gauss solo in un arco temporale di mezzo secolo (dal 1799 al 1849) riuscì a dimostrare completamente il TFA mediante una dimostrazione non certo alla portata di tutti. ! News a cura di Umberto Esposito per gentile concessione dell’Autore.